Bemerkenswerte Punkte

Die bemerkenswerten Punkte des Dreiecks , die wir letzte Woche besprochen haben, haben, entschuldigen Sie die Redundanz, bei meinen lieben Lesern großes Interesse geweckt, was mich ermutigt, das Thema weiter zu erforschen. Es ist leicht zu zeigen, dass sich die drei senkrechten Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Bei einem Dreieck ABC sind alle Punkte auf der Mittelsenkrechten der Seite AB gleich weit von A und B entfernt, und alle Punkte auf der Mittelsenkrechten der Seite AC sind gleich weit von A und C entfernt. Daher ist der Schnittpunkt beider Mittelsenkrechten auch gleich weit von B und C entfernt, sodass die Mittelsenkrechte von BC durch ihn verlaufen muss. Und da dieser Punkt gleich weit von den drei Eckpunkten des Dreiecks entfernt ist, ist er der Mittelpunkt des Kreises, der durch sie verläuft, also der Umkreismittelpunkt.

Der Nachweis, dass sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt schneiden, ist analog: Alle Punkte der Winkelhalbierenden von Winkel A sind von den Seiten AB und AC gleich weit entfernt; alle Punkte der Winkelhalbierenden von Winkel B sind von den Seiten AB und BC gleich weit entfernt; daher ist der Schnittpunkt beider Winkelhalbierenden auch von den Seiten AC und BC gleich weit entfernt, und daher verläuft die Winkelhalbierende von Winkel C durch ihn. Und da dieser Punkt von den drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt ist, ist er der Mittelpunkt des Kreises, der alle drei Seiten tangiert, also der Inkreismittelpunkt.

Der Nachweis, dass sich Mediane in einem Punkt treffen, ist nicht so einfach. Interessant fand ich Bretos Bursós rekursiven Vorschlag: „Seien wir T0 das Ausgangsdreieck. Die Mittelpunkte jeder Seite sind die Eckpunkte eines Dreiecks T1, das nach dem Thales’schen Theorem T0 ähnlich ist, und nach demselben Theorem enthält jeder Median von T0 einen Median von T1. Man kann unendlich iterieren, indem man eine Folge ähnlicher Dreiecke Tn betrachtet, deren Inhalt abnimmt – ich nenne in jedem Fall das kompakte Dreieck, das den Innenraum einschließt. In allen Dreiecken sind die Mediane Abschnitte der Ausgangsdreiecke; und nach dem Theorem von Cantor ergibt der Schnittpunkt aller Dreiecke eine Punktmenge, deren Element auf den drei Medianen liegen muss. Dieser Punkt ist der Schwerpunkt.“

Und, wie Manuel Amorós sagt: „Eine physikalische Methode, den Schwerpunkt eines Dreiecks zu bestimmen, besteht darin, einen beschwerten Faden aufzuhängen. An einem Punkt dieses Fadens hängen wir die Dreiecksfläche an einem ihrer Scheitelpunkte auf. Der Faden, der die Fläche kreuzt, markiert einen Median. Wir führen dasselbe Verfahren an einem anderen Scheitelpunkt durch und erhalten zwei Mediane, deren Schnittpunkt den Schwerpunkt bildet.“ Und das Verfahren lässt sich auch auf ein Fünfeck oder jede andere Figur anwenden.

Um zu zeigen, dass sich die Höhen eines Dreiecks in einem Punkt treffen, zog Euklid durch jeden Scheitelpunkt eine gerade Linie parallel zur gegenüberliegenden Seite. Die drei Linien bilden an ihrem Schnittpunkt ein Dreieck, dessen Mittelsenkrechte die Höhen des ursprünglichen Dreiecks darstellen. Wie wir bereits gezeigt haben, treffen sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt …

Der Feuerbach-Kreis

Eine neu hinzugekommene Kommentatorin, María Beatriz Collado, sagt: „Ich liebe es, einen Zeitungsartikel über die wesentlichen Punkte eines Dreiecks zu lesen. Können Sie uns danach etwas über den 9-Punkte-Kreis erzählen, das Wunderbarste, was ich je in der Geometrie gesehen habe?“

Nun ja, es ist ein wunderbares Thema, dem ich einen zukünftigen Beitrag widmen werde. Da mir für diesen Beitrag die Zeit davonläuft, kann ich es nur feststellen (und ankündigen):

Der 9-Punkte -Kreis ist der Kreis, der in jedem Dreieck durch die Mittelpunkte der drei Seiten, die Basispunkte der drei Höhen und die Mittelpunkte der Segmente verläuft, die die drei Eckpunkte mit dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks verbinden. Er ist auch als Feuerbach-Kreis bekannt. Aber wie gesagt, dazu gibt es einen separaten Artikel.