Öğrenci, Toplamanın Sınırları Hakkında Uzun Süredir Süregelen Bir Problemi Çözüyor

Bu hikayenin orijinal versiyonu Quanta Dergisi'nde yayınlanmıştır.

Matematikteki en basit fikirler aynı zamanda en şaşırtıcı fikirler olabilir.

Toplama işlemini ele alalım. Basit bir işlemdir: Öğrendiğimiz ilk matematiksel gerçeklerden biri 1 artı 1'in 2'ye eşit olmasıdır. Ancak matematikçilerin toplamanın ortaya çıkarabileceği desen türleri hakkında hâlâ cevaplanmamış birçok sorusu vardır. Oxford Üniversitesi'nde lisansüstü öğrencisi olan Benjamin Bedert , "Bu yapabileceğiniz en temel şeylerden biridir," dedi. "Bir şekilde, birçok açıdan hâlâ çok gizemli."

Matematikçiler bu gizemi araştırırken, toplamanın gücünün sınırlarını da anlamayı umuyorlar. 20. yüzyılın başlarından beri, "toplamsız" kümelerin doğasını inceliyorlar; kümedeki hiçbir iki sayının bir üçüncüye eklenmediği sayı kümeleri. Örneğin, herhangi iki tek sayıyı toplayın ve çift sayı elde edersiniz. Bu nedenle tek sayılar kümesi toplamsızdır.

1965 tarihli bir makalede, üretken matematikçi Paul Erdős, toplamsız kümelerin ne kadar yaygın olduğuyla ilgili basit bir soru sordu. Ancak onlarca yıl boyunca, problemdeki ilerleme ihmal edilebilir düzeydeydi.

Cambridge Üniversitesi'nden matematikçi Julian Sahasrabudhe , "Bu, hakkında şok edici derecede az bilgimiz olan, çok temel bir şeydi." dedi.

Ta ki bu Şubat'a kadar. Erdős'un problemini ortaya koymasından altmış yıl sonra Bedert onu çözdü. Tam sayılardan oluşan herhangi bir kümede (pozitif ve negatif sayma sayıları) toplamsız olması gereken büyük bir sayı alt kümesi olduğunu gösterdi. Kanıtı matematiğin derinliklerine inerek, yalnızca toplamsız kümelerde değil, her türlü başka ortamda gizli yapıyı ortaya çıkarmak için farklı alanlardan teknikler geliştirdi.

Sahasrabudhe, "Bu muhteşem bir başarı" dedi.

Erdős, herhangi bir tam sayı kümesinin daha küçük, toplamsız bir alt küme içermesi gerektiğini biliyordu. Toplamsız olmayan {1, 2, 3} kümesini ele alalım. {1} ve {2, 3} gibi beş farklı toplamsız alt küme içerir.

Erdős bu olgunun ne kadar uzağa uzandığını bilmek istiyordu. Bir milyon tam sayıdan oluşan bir kümeniz varsa, en büyük toplamsız altkümesi ne kadar büyüktür?

Çoğu durumda, çok büyüktür. Eğer rastgele bir milyon tam sayı seçerseniz, bunların yaklaşık yarısı tek sayı olacaktır ve size yaklaşık 500.000 elemanlı toplamsız bir alt küme verecektir.

Erdős, 1965 tarihli makalesinde, sadece birkaç satır uzunluğunda olan ve diğer matematikçiler tarafından da muhteşem olarak kabul edilen bir kanıtla, N tam sayı kümesinin en az N /3 elemanlı, toplamsız bir altkümesine sahip olduğunu gösterdi.

Yine de tatmin olmamıştı. Kanıtı ortalamalarla ilgiliydi: Toplamsız alt kümelerden oluşan bir koleksiyon buldu ve ortalama büyüklüklerinin N / 3 olduğunu hesapladı. Ancak böyle bir koleksiyonda, en büyük alt kümelerin genellikle ortalamadan çok daha büyük olduğu düşünülür.

Erdős, bu ekstra büyük toplamsız alt kümelerin boyutunu ölçmek istiyordu.

Matematikçiler kısa süre sonra kümeniz büyüdükçe en büyük toplamsız alt kümelerin N / 3'ten çok daha büyük olacağı hipotezini ortaya attılar. Aslında, sapma sonsuz derecede büyüyecek. Bu tahmin—en büyük toplamsız alt kümenin boyutunun N / 3 artı N ile sonsuza kadar büyüyen bir sapma olduğu—şimdi toplamsız kümeler varsayımı olarak biliniyor.

Erdős orijinal makalesinde "Bu basit sorunun önemli zorluklar ortaya çıkarması şaşırtıcı," diye yazdı, "ama belki de apaçık olanı gözden kaçırıyoruz."

Onlarca yıl boyunca hiçbir şey açıkça ortaya çıkmadı. Kimse Erdős'un kanıtını geliştiremedi. Bedert'in Oxford'daki doktora danışmanı Ben Green , "İnsanlar bu basit sınırı geliştiremeden ne kadar uzun süre geçerse, bu problem o kadar itibar kazandı," dedi. Ve ekledi, bu tam olarak "daha iyisini yapmanın çok, çok zor olduğu" türden bir problemdi.

Erdős'un orijinal sonucunu 25 yıl boyunca geliştirmeden sonra, matematikçiler sonunda ilerlemeye başladılar. 1990'da, iki araştırmacı herhangi bir N tam sayı kümesinin en az N /3 + 1/3 elemanlı, daha yaygın olarak ( N + 1)/3 olarak yazılan, toplamsız bir altkümeye sahip olduğunu kanıtladı.

Ancak bir kümenin boyutu her zaman tam sayı olduğundan, 1/3'lük bir artış genellikle önemsizdir. Örneğin, toplamsız bir alt kümenin en az 5/3 elemana sahip olması gerektiğini biliyorsanız, bu boyutunun 2 veya daha fazla olması garantilidir. 1/3'ü 5/3'e eklerseniz, cevabınız hala 2 olur. California Teknoloji Enstitüsü'nden David Conlon , "Komik, aslında her zaman iyileştirmediği anlamına geliyor," dedi. "Sadece N 3'e bölünebildiğinde iyileştirir."

1997'de, matematik efsanesi Jean Bourgain sınırı ( N + 2)/3'e kadar çıkardı. Sonuç pek de bahsetmeye değmez gibi görünse de, Bourgain'in makalesinde şaşırtıcı bir atılım gizliydi. En büyük toplamsız alt kümelerin bundan keyfi olarak daha büyük olacağını kanıtlamanın bir fikrini açıkladı. Bunu tam bir kanıta dönüştürmek için detayları belirleyemedi.

Sahasrabudhe, "Makalede adeta şöyle bir şey var: Sorunu nasıl çözmeye çalıştığımı ve neden işe yaramadığını anlatıyorum." dedi.

Bourgain, belirli bir kümenin yapısını ölçen Littlewood normu adı verilen bir niceliğe güvendi. Fourier analizi adı verilen bir matematik alanından gelen bu nicelik, küme daha rastgeleyse büyük olma eğilimindeyken, küme daha fazla yapı sergiliyorsa küçük olma eğilimindedir.

Bourgain, N elemanlı bir kümenin büyük bir Littlewood normuna sahip olması durumunda, N / 3'ten çok daha büyük toplamsız bir kümeye de sahip olması gerektiğini gösterdi. Ancak kümenin küçük bir Littlewood normuna sahip olduğu durumda ilerleme kaydedemedi.

Warwick Üniversitesi'ndenSean Eberhard, "Bourgain'in yetenekli olduğu biliniyor," dedi. "Bu sorunun ne kadar zor olduğunun çok çarpıcı bir göstergesi."

Bourgain sonunda ( N + 2)/3 sınırını elde etmek için farklı bir argüman kullanmak zorunda kaldı. Ancak matematikçiler satır aralarını okudular: Varsayımı tamamen çözmek için Littlewood normunu kullanabilirlerdi. Sadece küçük bir Littlewood normuna sahip kümelerle nasıl başa çıkacaklarını bulmaları gerekiyordu.

İyimser olmak için sebepler vardı: Matematikçiler, büyük toplamsız alt kümelere sahip küçük bir Littlewood normuna sahip kümeleri zaten biliyorlardı. Aritmetik diziler olarak adlandırılan bu kümeler, {5, 10, 15, 20} gibi eşit aralıklı sayılardan oluşur. Matematikçiler, küçük bir Littlewood normuna sahip herhangi bir kümenin çok özel bir yapıya sahip olduğundan şüpheleniyorlardı; bu, az çok birçok farklı aritmetik dizinin bir koleksiyonuydu (birkaç ayarlamayla). Bunu gösterebilirlerse, bu özelliği kullanarak küçük bir Littlewood normuna sahip herhangi bir kümenin büyük bir toplamsız alt kümesine sahip olduğunu kanıtlayabileceklerini umuyorlardı.

Ancak bu görev kolay değildi. Green, "Kesinlikle toplamsız varsayımı [Bourgain'in] fikirlerini kullanarak kanıtlamaya çalıştım," dedi, ancak "Küçük Littlewood normlu kümelerin yapısı hakkında hala pek bir şey anlamıyoruz. Littlewood ile ilgili her şey zordur."

Ve böylece, matematikçiler Bourgain'in Littlewood temelli stratejisine inanmaya devam ettilerse de hiçbir şey olmadı.

Yirmi yıldan fazla zaman geçti. Sonra, 2021 sonbaharında Benjamin Bedert yüksek lisans okuluna başladı.

Green'in doktora danışmanı olması nedeniyle Bedert'in toplamsız kümeler varsayımıyla karşılaşması kaçınılmazdı. Green'in web sitesinde 100 açık problem listeleniyor; bu ilk önce görünüyor.

Bedert, lisansüstü çalışmalarına başladıktan kısa bir süre sonra listeyi inceledi. İlk başta, toplamsız kümeler probleminden kaçındı. "Bu çok zor, bunu düşünmeyeceğim" diye düşündüm, diye hatırladı. "Bunu geleceğe bırakacağım."

Gelecek yeterince erken geldi. Bedert 2024 yazında daha riskli bir proje için hazır olduğuna karar verdi. "Şimdiye kadar doktora çalışmamda makul derecede iyi sonuçlar elde etmiştim ve bir tezi bir araya getirmiştim bile," dedi. "Sanırım bu daha meşhur sorunlar hakkında düşünmeye başladım."

Bourgain'in 1997 tarihli makalesini okudu ve Littlewood planının nasıl uygulanacağı hakkında düşünmeye başladı. Neredeyse hemen, küçük bir Littlewood normuna sahip kümeler sorununa nasıl yaklaşabileceğine dair bir fikri vardı.

Şimdiye kadar, küçük bir Littlewood normuna sahip kümelerin her zaman aritmetik dizilerin koleksiyonlarına benzediğini göstermek çok zordu. Ancak Bedert, daha ulaşılabilir bir şeyi kanıtlamanın yararlı olabileceğini düşündü: bu kümeler tam anlamıyla aritmetik dizilerden inşa edilmemiş olsa bile, belirli anahtar, dizi benzeri özellikleri paylaşırlar.

Bedert yakın zamanda yaptığı bir projede, odaklanılacak bir özellik için iyi bir aday olarak gördüğü bir şeyle karşılaşmıştı. Aritmetik dizilerde, aynı toplama sahip birçok sayı grubu vardır. Örneğin, çift sayılar kümesinde (bu bir aritmetik dizidir), 4 + 8, hem 2 + 10 hem de 2 + 4 + 6 ile aynı toplama sahiptir. Bedert, küçük bir Littlewood normuna sahip kümelerin her zaman bu özelliğe uyduğunu göstermenin yeterli olabileceğini düşündü.

Birkaç hafta içinde, özelliğin doğru olduğunu kanıtlamayı başardı. Ancak sonuç ona, toplamsız kümeler varsayımını kanıtlamak için ihtiyaç duyduğu aritmetik ilerlemelere benzerlik seviyesini verecek miydi?

"Kesinlikle heyecanlandım," dedi. "Sonra yapılacak çok daha fazla iş olduğunu fark ettim."

İlk olarak Bedert, küçük bir Littlewood normuna sahip herhangi bir kümenin, aritmetik dizilere daha da yakın bir benzerlik taşıyan ikinci bir kümeye "eşleştirilebileceğini" gösterdi. Bu yeni kümelerde büyük toplamsız alt kümeler bulacağından şüpheleniyordu.

Son görev, böyle bir toplamsız alt kümenin boyutunun ne olacağını gerçekten göstermekti. Bedert, "Noel tatili boyunca bu problem hakkında takıntılı bir şekilde düşünüyordum," dedi. "Yılbaşına kadar, bulmacanın son parçasını hâlâ bulamamıştım."

Sonra, Ocak ayında Oxford'a döndükten birkaç gün sonra, aklına geldi. "Nereden geldiğinden emin değilim," dedi. "Belki bu fikirler bir süre zihninizde canlanır ve sonra [sen] sonunda işe yarayan bir şey çıkarırsın."

Kümelerinin yapısını Fourier dönüşümü adı verilen bir araç kullanarak temsil etti ve ardından 1981 tarihli bir kanıtı , bu temsilin bazı bireysel bileşenlerinin büyük bir Littlewood normuna sahip olması gerektiğini gösterecek şekilde değiştirdi. Bourgain büyük Littlewood normlarına sahip kümelerin nasıl ele alınacağını zaten gösterdiğinden, bu kanıtı tamamladı.

Sonunda Bedert, N tam sayı kümesinin en az N /3 + log(log N ) elemanlı toplamsız bir altkümeye sahip olduğunu gösterdi. N'nin birçok değeri için bu, Erdős'un ortalama N /3 boyutundan yalnızca biraz daha büyük olan toplamsız bir altküme verir. Örneğin, N 10 ¹⁰⁰ kadar büyük olsa bile, log(log N ) yalnızca 5 civarındadır. Ancak N sonsuza doğru ilerledikçe Bedert ve Erdős sınırları arasındaki fark da artar; böylece varsayım yerleşmiş olur.

Ohio State Üniversitesi'nden Yifan Jing , "Gerçekten inanılmaz bir sonuç," dedi. Green'in de akıl hocalığını yaptığı Jing, bu başarıyı Bedert'in yoğun odaklanması sayesinde elde etti. "Benjamin, Bourgain'in kanıtını değiştirmek ve işe yaramasını sağlamak için gerçekten derinlemesine çalıştı," dedi. "Aynı sorun üzerinde diğer insanlardan çok daha fazla zaman harcıyor."

Toplamsız alt kümeler hakkında ve dolayısıyla toplamanın tam sayıların yapısını ne ölçüde etkilediği hakkında hala anlaşılması gereken daha çok şey var. Örneğin, Bedert'in sonucu, en büyük toplamsız alt kümenin N / 3'ten sonsuz derecede büyük olup olmadığı sorusunu çözüyor. Ancak matematikçiler bu sapmanın ne kadar hızlı büyüyebileceğini tam olarak bilmiyorlar. Green ve iki meslektaşının 2014 tarihli bir makalesi sayesinde, sapmanın N'den daha yavaş büyüdüğünü biliyorlar. Ancak Green, N'nin üst sınırı ile Bedert'in log(log N ) alt sınırı arasında "büyük bir boşluk kaldığını" söyledi.

Çalışma ayrıca küçük bir Littlewood normuna sahip kümeler hakkında yeni bir bakış açısı sağlıyor. Bu tür kümeler analiz alanında temel nesnelerdir ancak incelenmesi çok zordur. Bedert'in sonucu, Green ve diğerlerinin artık keşfetmeye devam etmeyi umduğu yapılarını daha iyi anlamalarına yardımcı oldu. "Güzel, ilginç, doğal hissettiriyor," dedi Eberhard. "Bir gizemi çözmek istiyorsunuz, değil mi?"

Sahasrabudhe için çıkarılacak ders basit. "Eski ve zor bir sorun zeki bir çocuk tarafından çözüldü," dedi. "Üzerine inşa ettiği şeyler incelikli ve üzerinde çalışılması zor. Gerçekten güzel bir sonuç."

Orijinal hikaye , Simons Vakfı'nın editoryal açıdan bağımsız bir yayını olan Quanta Magazine'den izin alınarak yeniden basılmıştır. Vakfın misyonu, matematik, fizik ve yaşam bilimlerindeki araştırma gelişmelerini ve eğilimlerini ele alarak kamuoyunun bilim anlayışını geliştirmektir.