17-летняя девушка опровергает математическую гипотезу, выдвинутую 40 лет назад.

Ханна Кайро застряла на математической задаче. Все, о чем она могла думать, это несколько недель, и она решила попробовать новый подход. «После месяцев попыток доказать результат, мне удалось понять, почему это было так сложно. Я поняла, что если я правильно использую эту информацию, то, возможно, смогу опровергнуть утверждение. Наконец, после нескольких неудачных попыток, я нашла способ построить контрпример [случай, который не подтверждает изучаемое свойство и показывает, что оно в целом неверно]». Чиаро говорит, что для этого потребовалось несколько инструментов, включая фракталы, и ей пришлось все очень тщательно организовать. «Мне потребовалось некоторое время, чтобы убедить Жуйсяна Чжана [преподавателя предмета, по которому была поставлена ​​задача], что мое предложение на самом деле верно», — говорит Кайро.

Это оказалось правдой, и с этим Каир решил так называемую гипотезу Мизохаты-Такеучи , проблему, предложенную в 1980-х годах, над которой сообщество гармонического анализа работало десятилетиями. Хотя широко ожидалось, что это правда — если так, то другие важные результаты в этой области будут автоматически решены — сообщество встретило результат с энтузиазмом. И с удивлением: его автором была 17-летняя девушка, которая еще не окончила среднюю школу.

«Когда я переехал в США из Нассау [Багамы, где он родился], я вошел в систему образования как ученик средней школы, хотя я посещал занятия в Калифорнийском университете в Беркли. Я написал профессорам, рассказал им, какие книги я прочитал по этой теме, и спросил, могу ли я посещать их занятия. Многие согласились, включая Чжана», — говорит он. «Однажды он предложил доказать особый, гораздо более простой случай гипотезы в качестве домашнего задания. В качестве необязательной части он сформулировал исходную гипотезу. И я стал одержим ею», — добавляет он.

Гипотеза Мизохаты-Такеучи относится к области гармонического анализа, которая пытается разложить функции на более простые компоненты, такие как синусоидальные функции. Сегодня это очень горячая область исследований, которая также стала фундаментальным инструментом в многочисленных приложениях, от сжатия цифровых аудио- и видеофайлов до проектирования телекоммуникационных систем.

Гармонический анализ родился в начале 19 века в работе французского математика Жозефа Фурье по изучению тепловой функции, частного дифференциального уравнения, описывающего диффузию тепла в твердом теле. Его революционная идея состояла в том, чтобы разложить эту сложную функцию на сумму синусов и косинусов. Метод, известный как ряд Фурье, открыл дверь к новому способу понимания физических и математических явлений. «В теории гармонического анализа все состоит из волн. Вы можете построить с ними что угодно, если используете правильное количество волн», — описывает Каиро.

Ограниченный анализ Фурье изучает, какие типы объектов можно получить, если начать с небольшого набора волн. «Можно построить только определенные вещи, и очень сложно понять, какие именно. Гипотеза Мизохаты-Такеучи утверждает, что если использовать только определенные типы волн, то получится форма, состоящая из линий», — объясняет он.

«После того, как я получила первый контрпример, я попыталась переформулировать всю проблему в частотном пространстве. И я наблюдала, как выглядит моя конструкция, таким образом. Затем я поняла, что на самом деле есть другой, гораздо более простой способ спроектировать контрпример», — заявляет она, удовлетворенная, в одной из комнат резиденции Сан-Хосе в Эль-Эскориале, где с 9 по 13 июня проходил 12-й Международный конгресс по гармоническому анализу и уравнениям в частных производных , организованный Институтом математических наук (ICMAT) и Автономным университетом Мадрида. Мероприятие, известное как El Escorial Meetings , стало за свою почти 50-летнюю историю одним из самых престижных в этой области.

Это первая международная научная поездка Каиро. Она приземлилась в Барселоне две недели назад, и с тех пор это ее четвертая конференция. «Это прекрасный опыт — проводить время с другими людьми, которые любят математику», — говорит она. На конференции в Эль-Эскориале она выступила с одним из докладов программы. И, не чувствуя себя застенчивой, она наслаждалась этим. Каиро любит публичные выступления. Ей нравится учить других студентов, иногда старше ее. Ее призвание, как она говорит, «помогать другим людям, делать их счастливыми». И, сколько она себя помнит, она была очарована математикой.

Она начала самостоятельно читать сложные учебники по этому предмету. «Я всегда хотела быть математиком, но я не знала, что это значит, пока не выучила абстрактную алгебру по книгам. Это забавно, потому что абстрактная алгебра — это противоположность математике, которой я занимаюсь сейчас. На самом деле, сначала я думала, что буду заниматься теорией чисел. Когда мне было тринадцать или четырнадцать, я написала работу по теории чисел, но она касалась проблемы, которая никого не волновала», — вспоминает она, смеясь.

Во время пандемии COVID-19 летний лагерь Berkeley Math Circle — собрание, где студенты предуниверситетских курсов совместно решают сложные математические задачи, похожее на Small Institute of Mathematics (PIM) ICMAT — пришлось провести в режиме онлайн. Это позволило Каиро с Багамских островов записаться на курс. «Математические кружки — это изучение и обмен идеями с друзьями; это не школьная математика, где нужно запоминать. Работа похожа на рисование картины своими идеями. Речь идет не о достижении ощутимой цели, а просто о понимании вещей, постановке вопросов, и это также отличный способ завести друзей», — описывает она.

Директор программы признал необычайный математический талант Каиро — еще одна цель такого рода деятельности — выявить людей с особым талантом к математике и стимулировать их интерес и способности — и предложил ей стать профессором в последующих выпусках. Она так и сделала. Теперь, в своем новом университете в Мэриленде, где она начнет докторантуру в следующем году, она надеется создать свою собственную группу.

Там она продолжит работать под руководством Чжана. «Он очень мне помог, и я очень благодарна. Помимо своего класса, который я любила, он посвятил мне бесчисленное количество часов репетиторства», — вспоминает она. В Испании новая интенсивная программа по математике (MIP) ICMAT также стремится выявлять и поддерживать карьеры такого рода.

Агата Тимон Гарсия-Лонгория — координатор отдела математической культуры в ICMAT.

Coffee and Theorems — раздел, посвященный математике и среде, в которой она создается, координируемый Институтом математических наук (ICMAT). В этом разделе исследователи и члены центра описывают последние достижения в этой дисциплине, делятся общими взглядами между математикой и другими социальными и культурными проявлениями и вспоминают тех, кто сформировал ее развитие и знал, как превратить кофе в теоремы. Название вызывает в памяти определение венгерского математика Альфреда Реньи: «Математик — это машина, которая превращает кофе в теоремы».