Um quadro negro 'carrolliano'

Os 6 cigarros full contact da semana passada podem ser melhorados com o arranjo mostrado na figura, em que um sétimo cigarro é inserido em uma cavidade central formada pelos outros.

O que não foi demonstrado (até onde eu sei) é que 7 é o máximo possível (embora tenha sido demonstrado que a solução do número não é única, como veremos mais adiante).

Quanto aos cigarros — ou cilindros — de comprimento infinito (a variante foi proposta pelo matemático britânico John Littlewood), eles não mereceram a atenção dos meus leitores astutos, pois não forneceram nenhuma solução. Embora não tenha sido uma questão de atenção, mas de dificuldade, porque é preciso reconhecer que não é nada fácil : a figura mostra uma solução com 6 cilindros, considerada intransponível até recentemente, duas soluções diferentes foram encontradas com 7 cilindros (o que, obviamente, também é o caso dos cigarros finitos). Observando atentamente a figura e partindo dela, você poderá encontrar uma dessas soluções; Mas tenha paciência, porque apesar de saber que ela existe facilita as coisas, ainda é muito difícil.

E passando dos cilindros rígidos para os flexíveis, um problema simples para compensar a dificuldade dos anteriores:

Temos um elástico de 1 metro de comprimento com uma seção circular de 2 mm de diâmetro. Se esticarmos até que sua seção tenha 1 mm de diâmetro, e assumindo que a deformação seja uniforme ao longo de todo o comprimento da borracha, qual será seu comprimento agora? E depois de encontrar a solução, tente “cozinhá-la”.

A relação entre alongamento e contração é chamada de coeficiente de Poisson, e na maioria dos materiais ela é positiva (quanto maior o alongamento, maior a contração); Mas alguns materiais, chamados auxéticos, têm um coeficiente de Poisson negativo, o que significa que eles se expandem quando esticados.

Materiais auxéticos sintéticos, como o politetrafluoretileno expandido (comercializado como Gore-Tex, entre outras marcas), têm muitas aplicações e, coincidentemente (embora em matemática e física macroscópica nada seja coincidência), um número máximo de fios (cilindros infinitos, para fins práticos) em contato mútuo é a base para a fabricação de malhas auxéticas, o que levou os pesquisadores a buscar esse máximo possível. O que resultou em 7, como eles descobriram antes dos matemáticos.

Um quadro negro não euclidiano?

As duas meninas na ilustração principal da semana passada não parecem ser muito boas em matemática, a julgar pelo que escreveram no quadro. Mas não sejamos tão precipitados em julgá-los: eles podem ser expressos em termos não convencionais, mas isso não significa que estejam errados. Ou talvez tenham sido objeto de uma piada matemática inventada pelo próprio Lewis Carroll, que gostava tanto de confundir as jovens com suas aparentes bobagens . Existe alguma possibilidade de que a igualdade 180 = 90 + 30 faça sentido?

Por outro lado, os ângulos de um triângulo somam apenas 180º no plano euclidiano; em outra superfície, eles podem somar mais ou menos que dois ângulos retos (você consegue desenhar — ou descrever — um triângulo cujos ângulos somam 270º?).

Quanto ao triângulo no tabuleiro, sabemos que ele é retângulo porque vemos a marca usual do ângulo oculto, embora não seu valor (apenas o 0 final é visível); mas vemos o valor dos agudos: 40º e 30º respectivamente. É possível atribuir ao ângulo reto oculto um valor que faça a figura fazer sentido ?

E a partir da ilustração da semana passada, podemos passar para o texto para propor um pequeno metaproblema: Qual seria a razão lógica para o corretor ortográfico automático colocar em itálico o nome de Poisson, o famoso matemático e físico francês?